1) Réalisme et fictionnalisme :

a) Le réalisme :

Le réalisme est une position traditionnelle et ancienne sur la nature des objets mathématiques. Il peut être résumé en deux thèses :

  • Il existe des objets non spatio-temporels (des objets abstraits) (1).
  • Les entités mathématiques sont des objets abstraits (2).

L’ontologie réaliste fait une distinction entre les objets concrets et les objets abstraits. À la physique revient la description et l’explication des phénomènes concrets. Aux mathématiques reviennent la description et l’explication des phénomènes abstraits. Énoncer « 2+2=4 », ce n’est pas seulement associer des signes entre eux en vertu de certaines règles (a -voir les notes-). Ce n’est pas seulement un jeu de symboles, c’est décrire une relation entre plusieurs objets abstraits.

b) Le débat réalisme/fictionnalisme :

Même Gödel, qui défendait le réalisme (b), pensait que cette solution n’était pas complètement satisfaisante (c). Le réalisme n'est pas facile à défendre et est une hypothèse très coûteuse. On peut tout à fait soutenir que les mathématiques sont un pur jeu de symboles et que la seule intuition nécessaire, c'est celle des signes sur la page. C’est d’ailleurs de cette manière que Hilbert définissait les mathématiques axiomatisées, formalisées (Hilbert disait : "Au commencement était le signe"). Mais le plus dur est de démontrer qu’il existe des objets abstraits. Évidemment, s’il s’avère qu’il n’existe pas d’objets abstraits, la thèse (2) devient caduque.

Le fictionnalisme s’attaque évidemment à la possibilité d’une intuition de tels objets et à la possibilité même de leur existence. Par cette négation, le fictionnalisme est un nominalisme. Il existe plusieurs sortes de fictionnalisme, mais je vais dire seulement quelques mots sur le fictionnalisme de Hartry Field.

2) Le fictionnalisme de H. Field :

H. Field est sans aucun doute celui qui a lancé le fictionnalisme en philosophie des mathématiques (d). Aujourd’hui, en ontologie des mathématiques, le fictionnalisme est en vogue.

a) Les deux thèses traditionnelles et la thèse révolutionnaire :

Field partage avec les autres fictionnalistes les thèses suivantes :

  • Il n’existe pas d’objets abstraits.
  • Les entités mathématiques ne peuvent pas être des objets abstraits, en vertu de la proposition précédente.

La spécificité de Field, c’est la thèse suivante :

  • Les mathématiques sont une extension conservative des sciences naturelles.

« Une théorie T est conservative sur une théorie S » signifie que tous les énoncés dérivables de T (théorie nominale) pour formuler des énoncés de S (théorie non nominale) sont dérivables en S sans l'aide de T. Appliqué à la thèse de Field, en principe, toutes les propositions des sciences naturelles peuvent être dérivées sans théorie mathématique.

La conséquence importante de cette thèse, c’est la garantie apportée à T, ici, aux mathématiques. Puisqu’on a une intuition des objets concrets de S (S est une théorie non nominale) et qu’en S il est possible de dériver des propositions sur ces objets concrets avec l'aide de T, alors les propositions de T dérivées en S sont fondées sur des intuitions d'objets concrets. En principe, ne restent des théories mathématiques conservatives, que les énoncés pouvant être obtenus par des moyens finitistes reposant sur l’intuition des objets concrets interprétée par les sciences naturelles.

Pourquoi cette thèse est-elle importante ?

  1. Cette thèse remet entièrement en question le statut d’indispensabilité des mathématiques pour les sciences naturelles. En principe, il est possible de construire des sciences naturelles sans formalisation mathématique.
  2. Si tous les éléments problématiques des mathématiques sont éliminés et s’il est possible de dériver de manière finitiste toutes les propositions des mathématiques, alors la quête du fondement des mathématiques est achevée, puisqu’on n’a plus de raisons de douter de la certitude des propositions mathématiques.
  3. Cette thèse établirait définitivement la supériorité du programme hilbertien sur les autres mouvements dans la recherche du fondement des mathématiques. Et surtout, elle serait la réalisation du programme hilbertien dans sa forme orthodoxe, originale, formulée par Hilbert (l’exigence du finitisme a été plus ou moins abandonnée dans les formes post-gödeliennes du programme hilbertien (e)).

b) Quelques remarques et quelques problèmes :

  • Dire que les propositions mathématiques ne sont que des fictions, c’est une chose. Définir clairement ce qu’est une fiction et quel type de fiction est celui des propositions mathématiques, c’est une autre paire de manche.
  • L’abandon des objets abstraits entraîne l’abandon de la vérité des mathématiques. Dire que les mathématiques sont vraies, c’est dire qu’elles décrivent adéquatement leurs objets. Retirer l’objet qu’elles doivent décrire, c’est retirer la possibilité de leur adéquation. Les mathématiques sont fausses dans le même sens que la proposition « Siegfried s’est baigné dans le sang du dragon qu’il a tué et est devenu invulnérable. » est fausse. Cette conclusion est-elle désirable ? Quelles en sont les conséquences ?
  • Le problème du fondement des mathématiques est traditionnellement un problème d’épistémologie et de philosophie des mathématiques, puisqu’on cherche à répondre à la question : « Pourquoi les propositions mathématiques sont-elles vraies et certaines ? » Le fictionnalisme, puisqu’il rejette la vérité des mathématiques, implique une transformation de la recherche du fondement des mathématiques. La question qui se pose désormais est celle de savoir ce qu’on recherche quand on cherche un fondement aux mathématiques. Qu’est-ce que chercher un fondement aux mathématiques puisque les mathématiques ne sont pas vraies ? La justification d’une telle entreprise s’impose aussi : pourquoi devrait-on chercher un fondement à une théorie qui n’est pas vraie ?

Notes :

(a) Dans l’article de M. Balaguer consacré au fictionnalisme en philosophie des mathématiques pour la Stanford Encyclopedia of Philosophy –vraiment bien fait par ailleurs-, l’exemple pris est le suivant : « 4 est un nombre pair. » Mais dire d’un nombre qu’il est pair ou impair, c’est faire un énoncé métamathématique et non énoncer une proposition dans un langage-objet. Or la thèse du réalisme ne porte pas sur les propositions métamathématiques mais sur les propositions mathématiques. L’affirmation selon laquelle les propositions métamathématiques sont des descriptions d’objets abstraits supposerait une autre thèse.

(b) Gödel (Kurt), « What is Cantor's Continuum Problem?, » reprinted in Benacerraf and Putnam, Philosophy of Mathematics, CUP, Cambridge, 1983, 470-85.

(c) « The result of the preceding discussion is that our axioms, if interpreted as meaningful statements, necessarily presuppose a kind of Platonism, which cannot satisfy any critical mind and which does not even produce the conviction that they are consistent. » Gödel (Kurt), « The present situation in the foundations of mathematics » (notes for a lecture at a meeting of the Mathematical Association of America, 1933), in Collected Works, vol. 3, OUP, Oxford, 1995, p. 50.

(d) Quelques livres importants de H. Field : Field (Hartry), Science without Numbers: a defense of nominalism, Blackwell, Oxford, 1980. Field (Hatry), Realism, Mathematics and Modality, Blackwell, Oxford, 1989.

(e) Par formes ''post-gödeliennes", j'entends les branches réformées du programme hilbertien après l'article de Gödel de 1931 qui énonce les deux théorèmes d'incomplétude de l'arithmétique de Peano. Ces branches incluent donc les solutions avancées par Gödel lui-même.